当思维在投资的征途中行走的时候，投资者也会逐渐认识到资金的充足并不代表能笑到最后，统计的缺陷常常让人陷入误区，时滞和失灵是市场指标统计中经常发生的现象。对投资价值的判断经常有很多方法会走向下一步趋近成功的道路，在这个道路上对投资的安全和有效以及风险管理来说常常是需要量化的，需要精密的逻辑性去归纳和演绎。在金融投资中，不确定性是其唯一的确定性，争论的焦点仅仅是计量的科学性和有效性的问题。

　　在投资过程中，我们会经常地发现不同于一般的思路和逻辑，人们通常同时购买保险与彩票。尽管赢得巨额彩金的几率只有数百万分之一，人们还是常常去买彩票。由于买彩票是吃亏的，原本不应该存在的彩票业却日益红火，于是现实中的彩票业并未因理论上的不合理性而消失。这个被称为“弗里德曼-萨维奇困惑”更加凸现了作为人类的理性也并未去遵循效用最大化，作为复杂的市场系统所能达到的有效性则更加有限。可是，斐波那契数列的一个特性也让我们对技术分析的神秘进行重新考量，在这个神秘的数列中每一个数字和随后的数字相比，就会得到一系列越来越接近无理数 0.618 的数字。在技术分析的应用中，这个数字可以说是最常见的一个数字之一了。

　　当然数学的启发并不局限于此，在“阿莱悖论”中更加直接地体现了一个令人吃惊的发现，人们经常对区别于某种变化着的参照水平（如现状）的结果更为敏感，这直接对应于心理学认为人们对外部环境的相对变化比对其绝对水平的反应更大，比如温度或光照。圣R26;彼得堡悖论则从理论上解释了为了取得一次博弈的机会，个人愿意放弃的收入的数量在理论和现实中是矛盾的。一系列的悖论和困惑常常是因为现实与理论分析的严格冲突，但这也是在投资过程中不得不考虑的人类心理因素的作用。

　　此外，在运用概率的过程中，人们通过不费力地回想出的例子来进行概率推断，结果导致赋予那些易见的、容易记起的信息以过大的比重，尽管可能导致误判。但是，这种可利用性的偏差却随处可见。同样地，一位四次成功选股的金融分析师会被一些投资者认为具有天赋，因为四次成功不可能是一位糟糕金融分析师的代表作。由此，大家认为其在近期的判断准确性是非常高且值得信赖的。当一位篮球运动员连续三次投篮命中时，球迷们由此就会相信他下一次还能投中。这种在人们心中存在的小样本也会反映人们对样本总体特征的信念，这被称为“小数法则”。可是当这种法则被利用的时候，由此又引出了赌徒谬论，也就是说，不是连着输几次之后就会使赢的机会在本金损失前增大。在这里，我们可以简单地通过一个算法来演示在一定假设条件下的赚钱结果，在任何涨跌概率、涨跌幅度和没有交易成本的情况下，投资是注定亏损的：假设涨跌幅度为a，则在一赚一赔的两次投资后，资金量变为原始资金的倍数为(1+a)(1-a)=1-a2，永远小于1。

　　最后用一个简单的例子结束，当一天一个企业家和一个金融投资家在华尔街上行走时，他们同时发现地上有100美元。企业家会说：我们快把那100美元捡起来，而投资家却会说：不用捡，那100美元肯定是假的。投资家对企业家的解释是：如果那100美元是真的，别人早就捡了。看似简单的小故事实际上包含了有效市场理论的核心：所有可以利用的信息都会在一项资产的现行价格中得到反映。

　　研究发现，因为人们通常同时购买保险与彩票，尽管赢得巨额彩金的几率只有数百万分之一，但全球数亿人还是常常去买彩票。因为买彩票是吃亏的，所以理论上应该所有人都不会去买彩票，彩票业应该根本不存在。但现实中的彩票业却并不会因理论上的不合理性而消失，反倒在世界各国持续地存在着。他们在购买保险时表现出风险厌恶，但在彩票投资上却表现出一种风险寻求。这种现象被称之为“弗里德曼-萨维奇困惑”。

　　假设你有机会玩一次这个游戏：不断掷一枚银币，直到掷出字的一面；如果只用一次就完成了，那你就得1个银币；如果两次，你得2个；如果3次，你得4个，依此类推，到第n次，你得是2的n次方个银币。也就是说，在数学的意义上讲，将可能达到无穷大。在这个游戏中可能得到的期望收益和直接获得一个确定性的1万个银币之间，没有一个人去选择进行这个实验，都选择了确定性的1万个银币。因此，玩此游戏可能支付的代价与无穷期望收益之间的矛盾就构成了所谓的圣R26;彼得堡悖论。这表明，用最大期望收益原则不可能解决一切非确定性（风险）投资决策问题。