遍历性

　　从更技术性的角度来说，我不得不指出，人往往相信他们能从所见到的样本导出分布的性质。谈到取决于极大值的事物时，我们所推导的则是完全不同的另一种分布，也就是表现最佳者的分布。我们把这种分布的平均值，以及赢家和输家都包含在内、无条件分布两者间的差距，称做存活者偏差∣∣这里指的是原来的群体中有约三﹪的人连续五年赚到钱。此外，本例也说明了遍历性（ergodicity）的性质，亦即时间会消除随机性的恼人影响。展望未来，尽管五年来这些经理人获有利润，我们预期将来某个时期，他们的绩效累计起来会是损益两平。他们的表现不会比原始群体中很早就中箭落马的人好。唉，关键在于「长期」！

　　几年前，我对那时候的「宇内高手」某甲说，绩效纪录没有他想象的那般重要，他觉得这句话很伤人，气得拿打火机丢我。我从这件往事学到很多。务必牢记，每个人都认为自己的成功全凭实力，毫无侥幸，只有失败时才会认为是机运使然。他所在的是一个由「杰出交易员」所组成，当时获利颇丰的部门。当他在部门内业绩领先群雄时，更是志得意满、不可一世。他们后来在一九九四年纽约酷寒的冬天中炸毁∣∣由于葛林史班（Alan Greenspan）出乎意料调高利率，造成债券市场崩跌。有趣的是，六年后我再也看不到他们有任何人仍在交易，因为遍历性。

　　前面说过，存活者偏差取决于母群体的原始大小。一个人过去赚到钱这个信息，本身既无意义且不重要。我们必须知道他所属群体的大小。换句话说，如果不知道曾有多少经理人尝试过且失败，我们没办法评估绩效纪录的有效性。要是原始群体只有十个经理人，那么我会毫不考虑地把一半的积蓄交给表现优异者。如果原始群体有一万名经理人，我会对他们的操作成果视而不见。较常见的就是对他们视而不见；这一阵子，不少人都被吸引到金融市场来，许多大学毕业生踏进社会后第一件工作便是交易，失败了再转行去学牙医。

　　如果像童话故事那样，这些虚构的经理人化为真人，其中一位可能是明天上午十一点四十五分我要见的那个人。为什么我会选十一点四十五分？因为我会问问他的交易风格，我需要知道他怎么操作。要是那位经理人过分强调以往的绩效，我便可以借口说我已经和别人约好一道吃饭必须赶紧过去。

　　无巧不成书

　　接下来讨论真实生活中，我们对机缘巧合的分布所持有的偏见。

　　神秘信件

　　一月二日你接到一封匿名信，向你表示，这个月市场会上涨。结果市场果然上涨，但你不以为意，因为大家都知道有元月效应这回事（历年来一月间股价涨多跌少）。到了二月一日，你又接到另一封信，向你表示，市场将下跌。这一次，又给那封信说中了。三月一日再接到一封信，情形一样。七月，你对那位匿名人士的先见之明很感兴趣，对方邀你投资某个海外基金。于是你把全部的储蓄拿出来投资。两个月后，那些钱有如肉包子打狗，一去不回。你伏在邻居的肩膀上嚎啕大哭，他告诉你，他也接过两封这种神秘信，但寄到第二封就停了。他说，第一封信的预测正确，但第二封不正确。

　　这是怎么一回事？那些骗子玩的把戏是，他们从电话簿找出一万个人名，寄出后市看涨的信给其中一半的人，后市看跌的信给另一半的人。一个月后，将有五千人接到的信预测正确，然后再针对这五千人如法炮制。再一个月后，剩二千五百人接到的信预测正确，如此直到名单上剩下五百人，其中会有两百人受骗上当。因此骗子只要花几千美元的邮资，便可赚进数百万美元。

　　网球赛中的电视广告

　　看电视上的网球比赛转播时，经常会有一些基金大作广告，吹嘘它们直到当时为止的表现，比别人好几个百分点。但是同样的，如果报酬率没比市场的涨幅高，会有人做广告吗？向你推销的投资，它们的成功完全靠机运得来的机率很高。这种现象就是经济学家和保险业者所说的逆向选择（adverse selection）。由于这种选择偏差，评估主动上门推销的投资时，所用的标准应该比你自己去寻找投资机会，所用的评估标准严格。比方说，如果全部的经理人有一万位，那么我主动去找经理人时，有百分之二的机会碰到纯靠机运而活的经理人。但是如果待在家里，有经理人前来按门铃，对方纯靠机运而活的可能性接近百分之百。

　　生日悖论

　　向不懂统计学的人说明资料挖掘问题时，最简单的方法是利用所谓的﹁生日悖论﹂，不过它其实不能算是悖论，只是反直觉的奇怪现象。随便找一个人，你和他的生日碰巧是同一天的机率是三百六十五‧二五分之一，碰巧同年同月同日生的机率更是低得多。因此和某人的生日同一天，是你会在晚餐桌上大谈特谈的巧事。一个房间内有二十三个人，任意两人生日同一天的机率有多少？约为五○﹪。关键在于我们没有指明哪两个人必须同一天生日；任意两人都可以。

　　世界真小！

　　当一个人在万万想不到的地方，偶然遇见亲朋好友，这种场合往往也会造成对机率的类似误解。这时候，人们往往带着惊讶的口吻说：「世界真小。」但是这种事情并非难以发生∣∣这个世界比我们想象的要大得多。其实我们根本没有真正想过在某时某地遇见某人的机率到底有多少。相反的，我们谈的只是任何偶遇，也就是和过去认识的任何人，在将来任何地方巧遇的机率。后者的机率高得多，或许比前者高数千个数量级。

　　统计学家观察资料，测试某种特定的关系时，例如了解政府宣布某件事和股市波动性的相关性，他们很可能对所得的结果信以为真。但是我们把资料丢给计算机去处理，寻找任何关系时，肯定会有某种虚假的关联性出现，例如股市的涨跌竟和妇女裙襬的高度有关，正如生日碰巧落在同一天，而人们看到这种结果总是瞠目结舌。

　　资料挖掘、统计学与信口雌黄

　　中新泽西州彩券两次的机率有多少？十七兆分之一。但这种事情就是发生在亚当斯（Evelyn Adams）身上。读者可能觉得，幸运之神一定特别宠顾这个人。哈佛大学的戴亚康尼斯（Percy Diaconis）和莫斯泰勒（Frederick Mosteller）利用上面说过的方法估计，某个人在某个地方，以完全未指明的方式，碰到那么幸运的巧事的机率，居然高达三十分之一！

　　有些人做资料挖掘的工作已经进入神学的领域∣∣毕竟古地中海人也是从鸟的内脏看出重要的事情。卓斯宁（Michael Drosnin）所写的《圣经密码》（The Bible Code），把资料挖掘工作扩延到圣经的注释上，是挺有趣的一件事。卓斯宁当过新闻记者，但似乎不曾受过任何统计学的训练。他在一位「数学家」的研究协助下，藉解读圣经密码而「预测」到以色列总理拉宾（Rabin）将遇刺，他曾经通知拉宾此事，但拉宾不以为意。《圣经密码》发现圣经中有统计上的不规则性，因此有助于预测类似的事件。不用说，这本书卖得很好。

　　我读过最好的一本书！

　　我喜欢逛书店，漫无目标地一本接一本浏览，想要决定是不是值得花时间去读某本书。我常常一时冲动，根据浮泛但有提示作用的线索来买书。我往往只看书衣的介绍就做决定。书衣通常有某人的赞辞，不管那个人有没有名气，或是从书评中摘录一段文字刊载出来。名气响亮且为人敬重的人，或者知名杂志的推荐，会促使我下定决心买某本书。

　　这有什么不对？我倾向于把书评和最好的书评混为一谈。前者是指对一本书品质的好坏所做的评估，后者则遭相同的存活者偏差玷污。我把一个变量的极大值分布误为那个变量本身。除了最好的赞辞，出版公司绝不会把其它任何东西放在书衣上，有些作者更过分，找来评语冷淡，甚至持负面看法的书评，从里面挑一些看来好象在赞美的字眼。英国财务数学家魏尔莫特（Paul Wilmott）说我写的是他「头一次遇到的坏书评」，但他却能从里面摘录一些话，放在书衣当赞辞。后来我们成为朋友，让我有机会讨到他的背书。